微分几何入门与广义相对论 Chapter2

第二章 流形和张量场

$\S2.1\quad微分流形$

定义1 拓扑空间$(M,\mathscr{T})$称为$n$维微分流形（$n$-dimensional differentiable manifold），简称$n$维流形，若$M$有开覆盖$\{O_\alpha\}$，即$M=\underset{\alpha}\bigcup O_\alpha$，满足：（a）$\forall O_\alpha$，$\exist同胚\psi_\alpha:O_\alpha\to V_\alpha$（$V_\alpha$是$\R^n$用通常拓扑衡量的开子集）；（b）若$O_\alpha\cap O_\beta\neq\varnothing$，则复合映射$\psi_\beta\circ\psi_\alpha^{-1}$（见图）是$C^\infty$（光滑）的.

/notes/

局部地看，一个$n$维微分流形与一个$\R^n$没有差别（上面定义中的同胚可以看出这一点）. 上述定义的是光滑流形. 把上述定义中的$C^\infty$换成$C^r$就是$C^r$流形的定义. $\psi_\beta\circ\psi_\alpha^{-1}$这个复合映射指的是先进行$\psi_\alpha^{-1}$再进行$\psi_\beta$. $\psi_\beta\circ\psi_\alpha^{-1}$是从$\psi_\alpha[O_\alpha\cap O_\beta]\subset\R^n$到$\psi[O_\alpha\cap O_\beta]\subset\R^n$的映射. 这给出了$n$个$n$元函数，它们都是$C^\infty$的（$\psi_\beta\circ\psi_\alpha^{-1}$是$C^\infty$的）.

设$p\in O_\alpha$，则$\psi_\alpha(p)\in\R^n$，故$\psi_\alpha(p)$点有$n$个自然坐标. 很自然地把这$n$个数称为$p$点在映射$\psi_{\alpha}$下获得的坐标$M$作为拓扑空间，其元素本来一般没有坐标，但作为流形，$M$ 中位于$O_{\alpha}$ 内的元素（点）就可通过映射$\psi_{\alpha}$获得坐标. 若$O_{a}\cap O_{\beta}\neq\varnothing$，则$O_{\alpha}\cap O_{\beta}$内的点既可通过$\psi_{a}$又可通过$\psi_{\beta}$获得坐标，这两组坐标一般不同. 我们说($O_{\alpha},\psi_{\alpha}$)构成一个（局域）坐标系（coordinate system）， 其坐标域（coordinate patch）为$O_{\alpha}:(O_{\beta},\psi_{\beta})$构成另一坐标系，其坐标域为$O_{\beta}$. 于是$O_{a}\cap O_{\beta}$内的点至少有两组坐标，分别记作$\{x^\mu\}$和$\{x^{\prime\nu}\}(\mu,\nu=1,\cdots,n)$. 由映射$\psi_{\beta}\circ\psi_{\alpha}^{-1}$提供的、体现两组坐标之间关系的n个n 元函数

 

就称为一个坐标变换（coordinate transformation）. 定义1条件（b）保证坐标变换中的函数关系 $x^{\prime\mu}=\phi^\mu(x^1,...,x^n)$ 都是$C^{\infty}$ 的. 为方便起见也常称 $\{x^{\mu}\}$ 为坐标系，虽然从$\{x^\mu\}$中看不出坐标域的范围. 物理学家也常把$x^{\prime\mu}=\phi^\mu(x^1,...,x^n)$记作$x'^\mu=x'^\mu(x^1,\cdots,x^n)$.

定义2 坐标系$(O_\alpha,\psi_\alpha)$在数学上又叫图（chart），满足定义1的全体集合$\{(O_\alpha,\psi_\alpha)\}$叫图册（atlas）. 条件（b）又叫相容性（compatibility）条件，因此说一个图侧重的任意两个图都是相容的.

例1 设$M=(\R^2,\mathscr{T}_u)$. 选$O_1=\R^2$，$\psi_1=$恒等映射（即像与逆像重合的映射），则$\{(O_\alpha,\psi_\alpha)\}$便是只含一个图的图册，故$\R^2$是2维流形，而且是能用一个坐标域覆盖的流形，称为平凡流形. 同理可知$\R^n$是$n$维平凡流形.

例2 $S^1$，是$\R^2$里的一个圆周. 我们来证明它是一个manifold. 我们猜测（直观来看），认为它是一维的，将要映射到$\R^1$上去. 这里显然不能只用一个图来映射，因为$S^1$与$\R^1$不同胚. 所以我们用四个图来覆盖$S^1$，分别是左半圆周、右半圆周、上半圆周和下半圆周，均为$\R^2$的通常拓扑$\mathscr{T}_u$所产生的诱导拓扑中的开集，此时它可以被完全覆盖，每个图中的映射就是将圆周投影到对应方向的数轴上去. 证毕.

例3 $S^2$，也就是二维球面. 在这里提到，sphere是球面，而ball是实心的球体，注意作出区分. $S^2$是三维中的二维球面，可以用两个坐标表示上面的点. 显然，这个球面是manifold. 类似上面例2的证明，我们用6个图来覆盖整个球面，均为$\R^3$的诱导拓扑中的开子集，每个映射也是投影. 至此证毕.

对于一个拓扑空间，可以定义不同的拓扑；对微分流形的定义，也有不同图册的选择：$\{(O_\alpha,\psi_\alpha)\}$和$\{(O'_\alpha,\psi'_\alpha)\}$. 若$\exist O_\alpha\cap O'_\beta\neq\varnothing$，则它们有可能是相容的（compatible），这就是说在定义里的那个映射是$C^\infty$的.

这时有两种情况：相容和不相容. 若不相容，则这两个图册将同一个底拓扑定义为两个不同的微分流形，它们的微分结构不相同. 注意，微分结构要在之后的学习中不断地领会，循序渐进，所以暂时不做更深讨论.

若相容，两个图册定义的微分流形是一样的. 我们可以造出一个更大的图册$\{(O_\alpha,\psi_\alpha);(O'_\beta,\psi'_\beta)\}$来包含它们，所以今后我们定义图册时，默认用最大的图册.

这体现出一个好处，最大图册中间的任意图之间都可以方便地做坐标变换. 图与图之间的变换就是坐标变换.

/notes/

坐标系都有坐标域$O_\alpha$，坐标变换一定是连续的（$C^\infty$），不能说它们是奇异的，出现问题只是因为超出了其对应的坐标域.

定义3 $f：M\rightarrow M'$称为$C^r$类映射，如果$\forall p\in M$，映射$\psi'_\beta\circ f\circ\psi_\alpha^{-1}$对应的$n'$个$n$元函数是$C^r$类的.

注意，$\psi_\alpha$和$\psi'_\beta$都是同胚映射. 所以$f$的$C^r$性能转化为$\psi'_\beta\circ f\circ\psi_\alpha^{-1}$的$C^r$性.

/notes/

如果$M$不是微分流形，就不能定义上述连续性，这是微分流形和普通拓扑空间之间的区别. 同时，由于同一图册中各图相容，上述定义与坐标系$(O_\alpha,\psi_\alpha)$及$(O'_\beta,\psi'_\beta)$的选择无关.

定义4 微分流形$M$和$M'$称为互相微分同胚（diffeomorphic to each other），若$\exist f:M\rightarrow M'$，满足（a）$f$是一一到上的；（b）$f$及$f^{-1}$是$C^\infty$的. 这样的$f$称为从$M$到$M'$的微分同胚映射，简称微分同胚（diffeomorphism）.

/notes/

微分同胚是强于同胚的，是对流形之间的映射提出的最高要求. 微分同胚的两个流形维数必须相等.

定义5 $f:M\to\R$称为$M$上的函数（function on $M$）或$M$上的标量场（scalar field on $M$）. 若$f$为$C^\infty$的，则称为$M$上的光滑函数. $M$上全体光滑函数的集合记作$\mathscr{F}_M$，在不会混淆时简记为$\mathscr{F}$. 今后在提到函数而不加声明时都是指光滑函数.

/notes/

注意，这里的函数与微积分学里的函数并不相同. 它不是所谓的$n$元函数，如果想让它成为多元函数，必须引入坐标系. 而引入不同的坐标系，多元函数本身的形式变了，函数值却是一样的. 这里的函数是不需要坐标系的，不能理解为$n$元函数.

标量场是“父亲”，与不同的坐标系结合，生出不同的“儿子”（多元函数）.

为了不造成混淆，我们还是一直用“标量场”这一名词. 同时，说标量场是“绝对的”，而其与坐标系结合产生的“多元函数”是“相对的”.

例4 $\R^3$中位于$q$点的点电荷的电势是流形$M=\R^3-\{q\}$上的光滑函数.

注：从例3开始看梁老师的课，决定边听课边敲笔记.

$\S2.2\quad切矢和切矢场$

2.2.1 切矢量

定义1 实数域上的一个矢量空间（vector space）是一个集合$V$配以两个映射，即$V\cross V\to V$ [ 叫加法（addition）] 及$\R\cross V\to V$ [ 叫数乘（scalar multiplication）] ，满足如下条件：

/notes/

由（g）可推出：$0\cdot v=\underline{0}\,,\,\,\,\forall v\in V\,\,\,\exist u\in V\,使\,v+u=\underline{0}$. 今后把零元记为0.

在我们平常讨论的问题中，矢量指的是$\R^3$中的一个“箭头”. 但是以上的定义包含了平常我们讨论的矢量，是一个更广泛的概念. 在这里，我们将“箭头”所代表的概念从$\R^3$推广到任意微分流形.

在一个任意的微分流形中，“箭头”的意义不易推广，因为它有“方向”和“长度”，太具体则不易推广. 所以我们寻找矢量抽象的共性.

考虑$M$上所有$C^\infty$的映射$f:M\to\R$，这个集合记为$\mathscr{F}_M$. 对于$\R^3$，有$\mathscr{F}_{\R^3}$，存在$f\in\mathscr{F}_{\R^3}$，我们可以对$f$求方向导数，并在所研究的$p$点取值. 由于方向导数的操作有线性性并满足莱布尼兹律，所以$\vec{v}$本质的、便于推广的特性是：它是一个从$\mathscr{F}_{\R^3}$到$\R$的、满足莱布尼兹律的线性映射. 推广到任意流形$M$的任意点$p$，定义：

定义2 映射$v:\mathscr{F}_M\to\R$称为点$p\in M$的一个矢量（vector），若$\forall f\,,g\in\mathscr{F}_M$，$\alpha\,,\beta\in\R$有

这里映射的方式还很多，所以$p$点有无限多矢量. 作为例子，定义一些矢量：设坐标系$(O,\psi)$，其坐标为$x^\mu$，则$M$上的光滑函数$f\in\mathscr{F}_M$对应$n$元函数$F(x^1,\cdots,x^n)$，可给$O$中任一点$p$定义$n$个矢量，记作$X_\mu$，作用于任一$f\in\mathscr{F}_M$的结果$X_\mu(f)$定义为如下实数

注：定理2-2-1在选读中，不写.

定理2-2-2 以$V_p$代表$M$中$p$点所有矢量的集合，则$V_p$是$n$维矢量空间（$n$是$M$的维数），即$\dim V_p=\dim M=n$.

证明

(A) 按以下定义加法、数乘和零元，不难验证$V_p$满足定义，是矢量空间.

(B) 只需证明最大线性无关基矢的数量为$n$，大于等于$n$，且小于等于$n$.

任选坐标系使得坐标域含$p$，则上面定义了$p$点的$n$个矢量$X_\mu$，$\mu=1,\cdots,n$. 欲证线性独立，设有$n$个实数$\alpha^\mu(\mu=1,\cdots,n)$使$\alpha^\mu X_\mu=\underline{0}$（爱因斯坦惯例），则要证$\alpha^\mu=0$， $\mu=1,\cdots,n$.

可见$\alpha^\nu=0$，$\nu=1,\cdots,n$. 因而$X_1,\cdots,X_n$线性独立，有$\dim V_p\geq n$.

(C) 证明$\forall v\in V_p$有$v=v^\mu X_\mu$，其中$v^\mu=v(x^\mu)$. 这是最难的一步，这里不证明，只能看Wald.

定义3 坐标域内任一点$p$的$\{X_1,\cdots,X_n\}$称为$V_p$的一个坐标基底（coordinate basis），每个$X_\mu$称为一个坐标基矢（coordinate basis vector），$v\in V_p$用$\{X_\mu\}$线性表出的系数$v^\mu$称为$v$的坐标分量（coordinate components）.

定理2-2-3 设$\{x^\mu\}$和$\{x'^\nu\}$为两个坐标系，其坐标域交集非空，$p$为交集中的一点，$v\in V_p$，有

其中$x'^\nu=x'^\nu(x^\sigma)$.

/notes/

注意上下标的书写，分母上的上标相当于下标，等号两边必须同为上标或同为下标.

证明

先看分量作用于同一标量场生成的不同多元函数

上述公式为矢量（的分量）变换式，也可以作为矢量定义.

下面讲曲线和切矢.

定义4 设$I$为$\R$的一个区间，则$C^r$类映射$C:I\to M$称为$M$上的一条$C^r$类的曲线（curve）. 今后如无声明，“曲线”均指光滑（$C^r$类）曲线. 对任一$t\in I$，有唯一的点$C(t)\in M$与之对应. $t$称为曲线的参数（parameter）.

/notes/

这里的曲线指的是映射，不是集合. 若两个曲线的像是重合的，则称其互为重参数化（reparametrization），具体定义是：若$\exist$到上映射$\alpha:I\to I'$，满足(a)$C=C'\circ\alpha$；(b)由$\alpha$诱导的函数$t'=\alpha(t)$有处处非零的导数. 曲线$C$的像也常记作$C(t)$（而不是$C[I]$），以表明曲线的参数为$t$. 设$(O,\psi)$是坐标系，$C[I]\subset O$，则$\psi\circ C$是从$I\subset\R$到$\R^n$的映射，相当于$n$个一元函数，就是参数方程.

定义5 设$(O,\psi)$为坐标系，$x^\mu$为坐标，则$O$的子集

可看成以$x^1$为参数的一条曲线（的像）（改变$x^2,\cdots,x^n$的常数值则得另一曲线），叫做$x^1$坐标线（coordinate line）.$x^\mu$坐标线可仿此定义.

例1 略.

定义6 设$C(t)$是流形$M$上的$C^1$曲线，则线上$C(t_0)$点的切于$C(t)$的切矢（tangent vector）$T$是$C(t_0)$点的矢量，它对$f\in\mathscr{F}_M$的作用定义为

/notes/

例2 $x^\mu$坐标线以$x^\mu$为参数的曲线，有

可见原来的坐标基矢$X_\mu$即是$\partial/\partial x^\mu$.

定理2-2-4 设曲线$C(t)$在某坐标系中的参数表达式为$x^\mu=x^\mu(t)$，则线上任一点的切矢$\partial/\partial t$在该坐标基底的展开式为

（这里显然也用了Einstein求和规则） 这就是说，曲线$C(t)$的切矢$\partial/\partial t$的坐标分量是$C(t)$在该系的参数式$x^\mu(t)$对$t$的导数.

/notes/

上面公式的记忆：曲线切矢的坐标分量就是该曲线的参数式的导数.

定义7 非零矢量$v\,,\,u\in V_p$称为互相平行的（parallel），若$\exist\,\alpha\in\R$使$v=\alpha u$.

/notes/

由定义6知道，曲线的切矢依赖于参数化，一条曲线在一点只有一个切矢. 但是人们往往认为曲线一点有无数多个切矢，这是因为他们对曲线的理解是曲线的像. 在这时，对曲线做重参数化，可以发现，像相同的曲线，在同一点处的切矢是互相平行的. 如下.

定理2-2-5 设曲线$C':I'\to M$是$C:I\to M$的重参数化，则两者在任一像点的切矢$\partial/\partial t$和$\partial/\partial t'$有如下关系：

其中$t'(t)$是由映射$\alpha:I\to I'$诱导而得的一元函数，即$\alpha(t)$.

证明 课堂上没有讲，略.

由上面知，若先给定点$p\in M$，总可以指定一条过$p$点的曲线使得$V_p$中一个元素是这条曲线在$p$点的切矢.

综上所述，$V_p$中任一元素可视为过$p$点的某曲线的切矢，因此$p$点的矢量亦称切矢量（tangent vector），$V_p$则称为$p$点的切空间（tangent space）.

2.2.2 流形上的矢量场

定义8 设$A$为$M$的子集. 若给$A$中每点指定一个矢量，就得到一个定义在$A$上的矢量场（vector field）.

例3 显然一条曲线的像上每一点都有一个切矢，这构成一个矢量场.但是我们遇到了一个特殊的例子，如下图.

所以例子应该修改为“非自相交曲线”.

/notes/

来自选读2-2-2：自相交曲线可定义沿曲线（指映射C）的矢量场的概念. 它是指每一$t\in I$对应于一个$v\in V_{C(t)}$的映射，其定义域是$I$而不是$M$的子集$C[I]$，因此这矢量场可记作$v(t)$.

定义9 $M$上的矢量场$v$称为$C^\infty$类（光滑）的，若$v$作用于$C^\infty$类函数的结果为$C^\infty$类函数，即$v(f)\in\mathscr{F}_M$，$\forall f\in\mathscr{F}_M$. $v$称为$C^r$类的，若$v$作用于$C^\infty$类函数得$C^r$类函数.

例4 (1) 坐标基矢构成坐标域上的$n$个光滑矢量场，叫坐标基矢场. (2) $\R^3$中位于$q$点的点电荷的静电场强$\vec{E}$是流形$M=\R^3-\set{q}$上的光滑矢量场.